¿Las matemáticas estaban ahí antes que nosotros, o nos las hemos inventado?

Es de esas preguntas que salen a las dos de la mañana y que uno cree que no llevan a ningún sitio. Si mañana desapareciera toda la humanidad, ¿seguiría existiendo el número pi?

Hay dos respuestas y las dos tienen detrás gente muy seria. Llevan discutiendo desde Platón y no han llegado a un acuerdo, así que conviene entrar sabiendo que nadie va a salir de aquí con la razón.

La postura de que estaba ahí

Los planetas describían elipses mucho antes de que Kepler naciera. La proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era la misma en el Egipto de los faraones y en la Vía Láctea de hace mil millones de años. Nosotros llegamos tarde, le pusimos un nombre griego y escribimos el símbolo.

Esta postura se llama platonismo matemático, y no es cosa de místicos: la defendieron Gödel, uno de los lógicos más importantes del siglo XX, y buena parte de los matemáticos en activo cuando se les pregunta en privado. Trabajar en esto se parece mucho más a explorar una cueva que a construir una casa. Uno no decide qué hay al doblar la esquina.

El argumento que más incomoda

En 1960, el físico Eugene Wigner escribió un artículo con un título que se ha quedado: la irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales. Su queja era sencilla y sigue sin respuesta.

Los números complejos se inventaron en el siglo XVI para resolver ecuaciones que no tenían solución, un juego de manos con una raíz cuadrada de un número negativo que ni sus autores se tomaban del todo en serio. Trescientos años después resultó que la mecánica cuántica no se puede escribir sin ellos.

Le pasó lo mismo a la geometría de Riemann, que en 1854 describió espacios curvos como pura especulación abstracta, sin ninguna intención de aplicarla a nada. Sesenta años más tarde, Einstein descubrió que era exactamente la forma del universo.

Si las matemáticas fueran un invento nuestro, ¿por qué las piezas que fabricamos por gusto encajan luego en cerraduras que no sabíamos que existían?

La postura de que nos las hemos inventado

La otra mitad contesta que ese asombro tiene truco.

Nos acordamos de los números complejos porque sirvieron. No nos acordamos de las miles de estructuras matemáticas que se han definido y no han servido para absolutamente nada. Si te quedas solo con los aciertos, cualquier método parece milagroso.

Y hay algo más incómodo. Los cimientos de las matemáticas no son un terreno firme que fuéramos descubriendo, sino un conjunto de reglas que decidimos aceptar.

El caso que lo enseña bien

La hipótesis del continuo pregunta si existe algún infinito de tamaño intermedio entre el de los números enteros y el de los números reales. Suena a pregunta con respuesta: o existe o no existe.

Pues no. Gödel primero y Paul Cohen en 1963 demostraron que con los axiomas habituales de la teoría de conjuntos no se puede demostrar ni que sea verdad ni que sea mentira. Puedes añadir como axioma que sí, y tienes unas matemáticas coherentes. Puedes añadir que no, y tienes otras matemáticas igual de coherentes.

Cuando eliges entre dos edificios que se sostienen igual de bien, cuesta seguir diciendo que estás explorando una cueva.

Una tercera vía, menos elegante y quizá más certera

Hay una salida intermedia que a mucha gente le parece hacer trampas y que a mí me convence bastante: descubrimos las regularidades e inventamos el idioma con el que las contamos.

Que un panal tenga celdas hexagonales no lo decide nadie: es lo que sale cuando quieres cubrir un plano gastando la menor cantidad de cera posible. Eso está ahí y estaría igual sin abejas ni sin humanos. Pero llamarlo hexágono, definir un plano, inventar el concepto de perímetro y demostrar que ese es el mínimo, todo eso lo hemos puesto nosotros.

Con esta lectura, la pregunta se parte en dos. El patrón se descubre. La notación se inventa. Y el asombro de Wigner se explica un poco mejor: si construimos el idioma precisamente para hablar de patrones, no es tan raro que sirva para patrones que aún no habíamos visto.

Por qué esto importa fuera del bar

Uno diría que da lo mismo, que las cuentas salen igual. Pero cambia dos cosas prácticas.

Cambia cómo se enseña. Si son un descubrimiento, tiene sentido enseñarlas como un paisaje que se explora, y el alumno que se pierde está perdido en un sitio real. Si son un lenguaje, hay que enseñarlas como se enseña un idioma: hablando, equivocándose y traduciendo.

Y cambia qué se espera de una ecuación. Si describe algo que estaba ahí, una fórmula que acierta durante siglos es una ventana. Si es una herramienta que hemos fabricado, es un mapa, y los mapas se cambian cuando aparece un territorio que no cabe. La física del siglo XX está llena de mapas que se cambiaron.

La próxima vez que salga la pregunta, hay un modo de hacerla más interesante: en vez de preguntar si las matemáticas se inventan o se descubren, pregunte por un caso concreto. Los números primos parecen encontrados. Los números imaginarios parecen fabricados. Y sin embargo son la misma disciplina, y el segundo grupo terminó describiendo los átomos.